５月の月例研 参加記

１．確率１と２ ： 名雪順一氏　

　ある国の平和な国創る計画の問題１は、「男の子は一家庭1人で、子どもは最大4人までと決めた」ということで、左表のように説明されると、女の子が多くなるような気がしますが、この5通りの家庭は、同じような割合で起こることはありません。そのことを考慮したのが表2を見ると、男の子と女の子が15人ずつの同数になり、この計画は失敗となります。でも、周りを見渡すと、男の子だけとか、女の子だけという家庭が結構目に付きます。実際の家庭の男の子と女の子の数の統計があ確率論のルーツの問題２は、「6万円ずつ出し合って2人がゲームを行い、先に3勝した方が12万円を貰うことで始めたが、2勝1負のときにゲームを止めることになった。どう分配するのが公平か」です。フェルマー流の考え方でもパスカル流の考え方でも、2勝1負の方が9万円受け取り、相手が3万円を受け取ることが公平だと分かる。

　サイコロの目の和が6と7になる確率の問題３では、和が6になるのは(1.5)、(2.4)、(3,3)の3通りで、和が7になるのは(1,6)、(2,4)、(3,3)の3通りで同じだけど、同じ割合で起こるかというと、そうではなく、いわゆる『同様に確からしい』とはいえない。2つのサイコロを区別して考えなければならない。

　あなたは何番目にクジを引きますかの問題４は、まず実験をしてから計算をするという順序で行います。クジを引くとき、引いたクジを元に戻さない場合と戻す場合を行います。どちらの場合もくじ引きでクジを引く順番には確率は変わらないことを確認します。

　偶数か奇数かという問題５は、「1から10までの10枚のカードから2枚取り出したとき、2枚の数の和は偶数の場合と奇数の場合のどちらが多いか」という問題です。何となく、偶数と奇数は同じ割合と思ってしまいますが、奇数の方が多くなります。

　「1組のトランプから2枚を引いたとき、1枚目を見ないで2枚目がハートだったとき、1枚目がハートである確率は？」という問題６。これは、3月の月例研で行いました。3月の月例研の内容を参照して下さい。

　大学合格と確率のもんだ７は、「大学合格の可能性が0.5のとき、10校受験して少なくても1校は合格する確率は？」です。計算すると、99.9％の確率で何処かには合格します。5校の受験でも96.875％の確率です。合格する確率が25％で、5校受験しても、76％で何処かに合格します。
るか調べてのですが、見当たらなかったです。

３．アクティブラーニング「トリックの解明」 ： 小森弘三氏

　学校としてアクティブラーニングを勧めているが、生徒に教科者を読んで教え合いなさいといALはやりたくない。そのやり方として、生徒達が考えたり、問題を作ったり、そえを発表するというのならいいかなと思う。高3文系の選択科目で行い、1時間で5種類の数学的トリックを見せ、その中から班ごとで1つを選び、次の1時間で解明する(2時間続きの授業)。そして翌週の授業までにパワーポイントにまとめプレゼンをしてもらいました。他の班のプレゼンを採点をしてもらいました。
　5つのトリックというのは、A：高速計算カード、B：誕生日当てカード、C:：数のトライアングル、D：予言、D：謎の高速計算です。B:誕生日当てジャー土の誕生日当てカードは特に有名ですが、何回か行って、知っていた生徒は生徒は誰もいませんでした。Dの予言は、『和算に恋した少女』というコミックに載っていました。この本はｍ￥、数学者の根上先生が監修しています。Dのものは、ア＝15、イ＝31とすると、ウ＝46、エ＝77、オ＝123、カ＝200、キ＝323、ク＝523、ケ＝846、コ＝1369と前の2つの和を作っていき、この10個の合計を求めるのですが、それがキの11倍の3553になります。

生徒の作ったパワポの画面を見せてくれました。
　Bの誕生日当てカードでは、5枚のカードからあるかないかを選ぶので、2×2×2×2×2で32通りの場合分けが出来ので、1日～31日の誕生日の人が分かると言うことで、1～31までを2進法で表し、その2４の桁が1の数をカードａに、2３の桁が1の数をカードｂに、･･･としている。だから、21日の場合は、ａ，ｃ，ｅのカードにあるから、16×1＋8×0＋4×1＋2×0＋1×1で21となります。
　Cの数のトライアングルでは、一番上の6個の数をA,B,C,D,E,Fとして計算していくと、一番下は、10(C+D)＋5(B+E)＋A+Fになり、一の位だけを考えているので、CとDは関係なく、BとEの和が偶数なら関係がなくなります。だから、B+Eが偶数ならA+Fに、奇数ならA+F+5になります。
　Aの高速計算カードでは、5枚のカードの和を計算すると、23，21，22，31，14 で、これを覚えておけば、例えば左の4枚をカードを選ぶと、その23と21と22と31 。
右図のようにずらして足していけば求まります。実際には覚える必要もなく、カードの下側の2つがその数になっています。さらに、カーぞを並べたときに、下の2個の数字を斜めにずらして足していけばいい。また、同じようなカードも作りました。
　Eの高速計算では、最初の2つの数をア＝a 、イ＝ｂ とすると、10個の合計は、ア+イ+ウ+エ+オ+カ+キ+ク+ケ+コ ＝となります。
Dの予言では、生徒達が結構てこづったようです。7つの数で、一の位が同じ物があれば、差を取れば必ず10で割り切れます。一の位で同じ物がない場合、0～9の中で、2つを足して10になる組合せは、（0,0）、(1.9)、(2,8)、(3,7)、(4,6)、(5,5)の6通りしかないので、鳩ノ巣原理により、7つ数の中で、必ず、どれかのパターンになるので、和は10で割り切れます。

４．二進法 ： 黒田俊郎氏

　東京電機気大学の教員志望者の学生さんの模擬授業をみて、感想やアドバイスを与えるということをしています。ある学生が2進法の授業をしたとき、その学生さんに渡すために作ったプリントです。次に2進法の授業はこのプリント通りに行っていましたが、１と２までで50分かかり、2進法旅館の話しまでは出来ませんでした。　小森先生は高3でほとんどの生徒がこのカードのことを知らないと言ってましたが、大学の理工学部の2年生の30名くらいですが、誰も知っていませんでした。小学校から高校までの勉強は教科書と問題集だけで。それ以外のことは知らないというのが実態です。
　数当てゲームをした後で、1～31までの全ての数は1と2と4と8と16から出来ていますと、2P目の表を完成させて貰います。16をずっと書いていかなければいけないから大変なので、それを1と0であらわそうとしたのが2進法です(3P目)。
　何森先生が考えた「2進法旅館」の話しです。1人部屋、2人部屋、4人部屋、8人部屋、16人部屋、32人部屋、････がある旅館で、「使う部屋は定員いっぱいで、使わない部屋は空けておく」という方針で部屋割りをするとと、5人、19人、83人のときはどう部屋割りをすればいいか。人数が少ないときは簡単ですが、多くなると大変です。そこで、83人を2人組を作ると41個出来て1人余ります(この1人は1人部屋)。
　2人組41個を2つずつ集めて4人組を作ると、20個出来て1組余ります(この1組は2人部屋です)。
　4人組20個を2つずつ集めて8人組を作ると、10個出来て、余りはありません。
　8人組10個を2つずつ集めて16人組を作ると、5個で来て、余りはありません。
　16人組5個を2つずつ集めて32人組を作ると、2個出来て、1組余ります(この1組は16人部屋です)。
　32人組2個を2つずつ集めて64人組を作ると、1個出来て、余りはありません。
　と考えて、64人部屋と16人部屋と2人部屋と1人部屋となります。
　実際の部屋割りでは、64人部屋に入れて16人部屋に入れて、･･･と考えた方が早いかも知れません。
　つまり、83＝64+32+2+1で、1010011(二) となります。
この2進法を発展させて、小数を表す場合を考えたり、3進法という物を考えたりするといいでしょう。
学生さんから、「どんな授業をしたらいいですか」という質問はあまりなくて、最近になって、「どんな教具がありますか」という相談が出るようになりました。助言役なので、こんなことをしています。

　教科書では、2進法の数は10進法ではどんな数か、次に10進法の数は2進法ではどうかと、と書かれていますが、面白くありません。数当てカードをやればいいし、10進法から2進法に直すのを最初にやればいいといいと思います。例えば、韓国語で「オルマエヨ」というのはどういう意味でしょうか。それは「いくらですか」という意味です。」というよりも、日本語で「いくらですか」というのは韓国語では「オルマエヨ」といいます、という方が易しいのではないでしょうか。「未知のもの→知っているもの」という順序よりも「知っているもの→未知のもの」の順序の方がやさしいのではないか。